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PPT: 01.数据拟合.pptx 视频: 01.数据拟合.mp4

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拟合（Fitting）问题的核心是从观测数据中找到一个函数（或模型），以描述数据背后的潜在规律。其方法论可归纳为 “三步框架”：明确函数空间（“在哪里找”）、定义好坏度量（“找哪个好”）、求解优化问题（“怎么找到”）。以下是详细拆解：

拟合的本质是从“候选函数集合”中挑选合适的函数，这个集合称为 函数空间。选择函数空间时需满足两个核心原则：

多项式函数空间 由幂函数（$1, x, x^2, ..., x^n$）线性组合构成，即 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$。
- 优点：结构简单，参数少（$n+1$ 个系数 $a_i$），求解方便；
- 缺点：高次多项式易出现“震荡”（如 Runge 现象），表达能力有限。
三角函数空间 由正弦/余弦函数（$\sin(kx), \cos(kx)$）组合构成（如傅里叶级数），适用于周期性数据（如声波、振动信号）。
样条函数空间 由分段低次多项式（如三次样条）拼接而成，保证整体光滑性（如连续导数），适用于需要“局部光滑”的场景（如曲线建模、机械零件轮廓）。
非线性函数空间 如指数函数（$f(x) = ae^{bx}+c$）、对数函数、神经网络（多层非线性组合）等，适用于复杂非线性规律，但求解难度较高。

需明确“拟合函数与数据的接近程度”的量化标准，即损失函数（Loss Function）。损失函数的选择取决于数据特性（如是否含噪声）和问题需求（如是否允许误差）。

插值损失（误差为零） 要求拟合函数严格经过所有数据点，即 $f(x_i) = y_i$（$x_i, y_i$ 为观测数据）。
- 适用场景：数据精确无噪声（如工程图纸的离散点）；
- 缺点：若数据含噪声，会“放大误差”，导致函数震荡。
最小二乘损失（L2 损失） 定义损失为“拟合值与真实值的平方和”：$L = \sum_^n f(x_i) - y_i^2$，目标是最小化 $L$。
- 优点：数学性质好（连续可导，线性情况下可解析求解）；
- 缺点：对异常值（离群点）敏感（平方会放大异常值的影响）。
绝对值损失（L1 损失） 定义损失为“拟合值与真实值的绝对值和”：$L = \sum_^n |f(x_i) - y_i|$。
- 优点：对异常值更稳健（绝对值不会放大极端误差）；
- 缺点：在零点不可导，求解难度略高（需用线性规划等方法）。
正则化损失 当函数空间复杂（如高次多项式），可能出现“过拟合”（过度贴合训练数据，泛化能力差），需加入正则项限制函数复杂度。例如： $L = \sum f(x_i) - y_i^2 + \lambda \sum a_k^2$（$\lambda$ 为正则化系数，惩罚大系数以简化函数）。

根据函数空间和损失函数，将拟合问题转化为可求解的数学模型（方程或优化问题），核心是求解函数的参数（如多项式的系数 $a_k$）。

解析求解（适用于线性问题） 若函数空间是线性的（如多项式、线性组合的三角函数），且损失为最小二乘，可转化为线性方程组求解。
- 例：对线性函数 $f(x) = a + bx$，最小二乘损失的最优解满足： $\begin{cases} na + b\sum x_i = \sum y_i \ a\sum x_i + b\sum x_i^2 = \sum x_i y_i \end{cases}$ 直接解方程组即可得 $a, b$。
迭代求解（适用于非线性问题） 若函数是非线性的（如 $f(x) = ae^{bx} + c$），或损失函数非二次（如 L1 损失），需用迭代法逐步逼近最优解。
- 例：梯度下降法（沿损失函数的负梯度方向更新参数）、牛顿法（利用二阶导数加速收敛）等。
数值稳定性处理 当数据存在噪声或函数空间维度较高时，可能出现“病态问题”（如方程组系数矩阵条件数过大，求解不稳定）。需通过：
- 简化函数空间（降低多项式次数）；
- 正则化（加入惩罚项）；
- 数据预处理（去除异常值、标准化）等方法优化。

拟合问题的本质是“在合理的函数空间中，用明确的好坏标准，找到最贴合数据规律的函数”。关键决策包括：

这一框架广泛应用于几何建模（如从离散点恢复曲面）、工程逆向（如零件轮廓重建）、数据分析（如趋势预测）等领域。